Bilangan Bulat

A.    Pengertian

Bilangan bulat adalah  bilangan yang tidak pecahan, dapat berupa bilangan positif, nol, maupun negatif.

B.  Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat

a. Jika a > b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x c
jika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x c
Contoh
1) 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6x6 > 2x6
2) 5 < 7 dan 3 bilangan bulat positif, maka 5x3 < 7x3

b. Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc < bxc
Jika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc > bxc
Contoh
1) -2 >-6 dan -3 (bilangan bulat negatif), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)
2) -3 < 2 dan -5 (bilangan bulat negatif), maka -3 x (-5) > 2x(-5)

c. Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka axc = bxc = 0
Contoh
1) 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0 = 0
2) 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0 = 0

C. Lawan Bilangan Bulat

a. Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat

b. Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Contoh
1) Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0
2) Lawan dari -5 adalah 5, sebab -5 + 5 = 0
3) Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

D. Operasi Dasar Pada Bilangan Bulat

Operasi dasar pada bilangan adalah (+,-,x,:) yakni operasi yang diterapkan pada dua bilangan sehingga diperoleh hasil bilangan tertentu (tunggal).

v   Sifat-sifat pada operasi penjumlahan :

1. Tertutup

         p + q adalah bilangan bulat yang tunggal

Contoh :

1. 9 + 3 = 12

2. -4 + (-5) = -9

2. Komutatif

         p + q = q + p

   Contoh :

1. -15 + (-5) =  -5 + (-15)

- 20  =  - 20 

3. Asosiatif

         (p + q) + r = p + (q + r)

Contoh

1.      [-5 + (- 6) ]+ (-7) = -5 +[( -6) +(- 7)]

-11 + (-7) = -5 + (-13)

-18  =  -18 

v   Sifat-sifat pada operasi pengurangan :

1. Tertutup

         p - q adalah bilangan bulat yang tunggal

Contoh :

1. 9 - 3 = 12

2. -4 - (-5) = 1

2. Komutatif

         p + q = q + p

   Contoh :

1. -15 - (-5) =  -5 - (-15)

- 10 =  - 10

3. Asosiatif

         (p + q) + r = p + (q + r)

Contoh

1.       [-5 - (- 6) ]+ (-7) = -5 -[( -6) +(- 7)]

     1 - (-7) = -5 - (-13)

     8 =  8 

v   Sifat-sifat operasi perkalian

a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
Contoh:
1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2) 7 x 8 = 56
3) 12 x 15 = 180
b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
   Contoh:
    1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20
    2) 7 x (-8) = -56
    3) 12 x (-15) = -180
c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
    Contoh:
    1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.
    2) -7 x 8 = -56
    3) -12x 15 = -180
d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
    2) -7 x (-8) = 56
    3) -12 x (-15) = 180

v   Sifat-sifat operasi pembagian

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian
Contoh
12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12
42 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42

Sifat-sifat pembagian bilangan bulat
a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif
    Contoh
    1) 63 : 7 = 9
    2) 143 : 11 = 13
b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) 63 : (-9) = -7
    2) 72 : (-6) = -12
c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) -63 : 7 = -9
    2) -120 : 10 = -12
d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -72 : (-8) = 9
    2) -120 : (-12) = 10

E. Menentukan FPB dan KPK Beberapa Bilangan Bulat dengan Faktor Prima

Setiap bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali faktor-faktor primanya. Kita mulai dengan membagi bilangan tersebut dengan bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13
Contoh  1 :
Tuliskan faktorisasi prima dari 18!
Jawab: Mulailah dengan membagi 18 dengan 2, 3, 5 dan seterusnya melalui pohon faktor berikut :

Jadi, faktorisasi prima dari 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3 x 2

Contoh 2:
Tuliskan faktorisasi prima dari 180!

Kita dapat mencari FPB dan KPK beberapa bilangan dengan menentukan faktor-faktor primanya.
Contoh :
Carilah FPB dan KPK dari 40 dan 60
Jawab : Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima mulai dari 2, 3, 5 dan seterusny, secara bersamaan seperti berikut ini.

v  FPB dicari dari hasil kali bilangan prima di kiri (dilingkari) yang habis membagi kedua bilangan. Jadi, FPB dari 40 dan 60 adalah 2 x 2 x 5 = 4 x 5 = 20

v  KPK dicari dari hasil kali semua bilangan prima di kiri (termasuk yang tidak dilingkari). Jadi, KPK dari 40 dan 60 adalah 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 4 x 6 x 5 = 4 x 30 = 120.