Bilangan Cacah

A.    Pengertian

Sebelum kita memahami pengertian dari bilangan cacah kita harus mengerti terlebih dahulu pengertian dari bilangan bulat. Bilangan bulat adalah  bilangan yang tidak pecahan, dapat berupa bilangan positif, nol, maupun negatif. Sedangkan bilangan asli (bilangan ordinal) adalah bilangan yang dimulai dari {1,2,3,…}. Jadi bilangan cacah (bilangan kardinal) adalah bilangan yang terdiri dari {0,1,2,3,…}. Sedangkan bilangan kardinal adalah bilangan tertentu yang menyatakan berapa banyak elemen-elemen yang terdapat dalam suatu himpunan. dan bilangan ordinal adalah bilangan tertentu yang menyatakan posisi relatif dari suatu elemen yang terdapat dalam suatu himpunan.

B.     Operasi Pada Bilangan

Operasi dasar pada bilangan adalah (+,-,x,:) yakni operasi yang diterapkan pada dua bilangan sehingga diperoleh hasil bilangan tertentu (tunggal).

v   Sifat-sifat pada operasi penjumlahan :

1. Tertutup

         p + q adalah bilangan bulat yang tunggal

2. Komutatif

         p + q = q + p

3. Asosiatif

         (p + q) + r == p + (q + r)

4. Penjumlahan dengan bilangan 0 (identitas penjumlahan)

         p + 0 = 0 + p = p

Penjumlahan dengan bilangan negatif

•      Secara urnum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika p > q (p = q + r, r bilangan asli) , maka

•      p + (-q) = (q + r) + (-q)               nama lain dari p

         = (r + q) + (-q)             Sifat komutatif penjumlahan

         = r + (q + -q)               Sifat asosiatif penjumlahan

          = r + 0                        Sifat invers penjumlahan

          = r                               Sifat identitas penjumlahan

         = p - q                          Sebab p = q + r

•      Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p - q

v   Sifat-sifat pada operasi pengurangan :

1. Tertutup

         p - q adalah bilangan bulat yang tunggal

2. Distributif perkalian terhadap pengurangan

         p x (q - r) = (pxq) – (pxr) (distributif kiri)

         (q - r) x p = (qxp ) – (rxp) (distributif kanan)

v   Sifat-sifat operasi pembagian

Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat :

1. Pembagian dengan bilangan 0

         0 ÷ p = 0

2. Pembagian dengan bilangan 1

          p ÷ 1 = p

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi)

         (q + r) ÷ p = (q ÷ p) + (r ÷ p)

4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi)

         (q - r) ÷ p = (q ÷ p) - (r ÷ p)

v   Sifat-sifat operasi perkalian

Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat :

1. Tertutup

         p x q adalah bilangan bulat yang tunggal

2. Komutatif

         p x q = q x p

3. Asosiatif

         (p x q) x r == p x (q x r)

4. Perkalian dengan bilangan 0

         p x 0 = 0 x p = 0

5. Perkalian dengan bilangan 1 (identitas perkalian)

          p x 1 = 1 x p = 1

6. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

         p x (q + r) = (pxq) + (pxr) (distributif kiri)

         (q + r) x p = (qxp) + (rxp) (distributif kanan)